Chức năng toán đơn giản f (x) nào có các tính chất này?

Question

Tôi có một vấn đề về toán học nhỏ. Tôi muốn có một chức năng với các đặc tính này:

1. cho x lớn hơn nhiều so với 0: lim f (x) = x
2. cho x nhỏ hơn nhiều so với 0: lim f (x) = 0
3. và f (0) = 1 (xin lỗi, tôi đã ở đây f (1) = 1 mà đã sai!)
4. f (x) nên monotonically increasing

Vì vậy, các chức năng nên trông hơi giống như điều này:

 ^
     | /
     |/
     |/
    ___.-+´ 
--´-----+------> 
     | 

Điều tốt nhất tôi có cho đến thời điểm này là x/(1 + e^(-x)) nhưng sau đó tôi nhận ra rằng nó giảm xuống dưới 0 và không tăng lên một cách đơn điệu.

Trợ giúp tuyệt vời để chơi xung quanh với chức năng này là GraphFunc Online.

Ngoài ra, sẽ rất hữu ích nếu chức năng này nhanh để tính toán vì tôi cần phải thực hiện nó rất thường xuyên.

EDIT: Tôi đang sử dụng chương trình này để giới hạn giá trị. Tôi có một thuật toán tối ưu hóa, sử dụng đường cong phù hợp với thuật toán Levenberg-Marquardt. Nhưng thuật toán này không cho phép các ràng buộc và tối ưu hóa trên toàn bộ các giá trị thực. Vì vậy, tôi cần một hàm như thế này để tôi có thể thêm một ràng buộc nhân tạo để hàm lớn hơn 0. Một cách tiếp cận đơn giản sẽ là sử dụng f(x) = x² nhưng sau đó hàm không tăng đơn điệu và nó có hai minimas.

Levenberg-Marquardt xấp xỉ các dẫn xuất, vì vậy tôi nghĩ nó sẽ là tốt nhất khi hàm cũng trơn tru. Nhưng tôi không chắc chắn nếu điều này là hoàn toàn cần thiết.

Answer 1

Ngoại trừ một sự gián đoạn tại 0, x/(1 - e^(-x)) hoạt động. Vì vậy, hãy xác định f (0) thành 1 và bạn đã đặt.

#define E 2.71828183 
double SimpleFunc(double x) 
{ 
    if (x == 0) 
     return 1; 
    return x/(1 - pow(E, (-x))); 
} 

có khả năng nhanh hơn:

double SimpleFunc2(double x) 
{ 
    if (x < 0) 
    return 1/(1 - x); 
    return x+1; 
} 

Cả hai đều liên tục trong phái sinh đầu tiên, nhưng điều thứ hai có một bước nhảy tại 1 trong đạo hàm bậc hai)

Nếu bạn thực sự không muốn để thực hiện chức năng khôn ngoan, hãy thử điều này: (x^2+.1)^.5/((1 - e^(-x))^2+.1)^.5

Answer 2

f (x) = abs (x/2) + x/2

trong đó abs (x) là giá trị tuyệt đối của x

Hàm đơn giản này rõ ràng sẽ nhanh chóng tính toán và đáp ứng tất cả bốn tiêu chí.

Answer 3

Tôi không biết chính xác bạn đang sử dụng nó để làm gì; có gì sai với một chức năng piecewise? Nếu bạn sắp thực hiện nó rất nhiều, một cái gì đó như thế này sẽ nhanh hơn làm số mũ:

f(x) = -1/x, x < -1 
f(x) = 1, -1 <= x <= 1 
f(x) = x, x > 1 

EDIT: Cố định nó thực sự hoạt động.

Answer 4

Chỉ để cung cấp cho bạn ý tưởng, đây là giải pháp không có ràng buộc f (1) = 1 và không tăng lên một cách đơn điệu.

Về cơ bản, bạn muốn trộn giữa hai hàm: f1 (x) = 0 cho x < 0 và f2 (x) = x cho x> 0. Bạn muốn pha trộn trơn tru. Một hàm bước đơn giản với giới hạn không đổi tại -inf và + inf là atan (giới hạn là -pi/2 và + pi/2 tương ứng).

Vì vậy, việc kết hợp một chức năng atan pha trộn với f1 và f2, bạn nhận được:

pha trộn (x) = atan (x)/pi + 0,5 f (x) = (1 - pha trộn (x)) * f1 (x) + hỗn hợp (x) * f2 (x)

Mà cho:

f (x) = (atan (x)/pi + 0.5) * x

có lẽ khác các hàm pha trộn mà bạn có thể sử dụng thay cho hàm atan. Cũng lưu ý hơn với các giá trị âm nhỏ, f (x) sẽ âm.

Nếu bạn muốn đường cong của bạn đi qua (1,1), bạn có thể sử dụng thực tế là atan (0) = 0.

Answer 5

1/2 * (x + ABS (x))

Nó đơn điệu.

f (1) = 1.

Khi x nhỏ hơn 0, f (x) = 0, nếu không bằng x.

Answer 6

Dưới đây là một smooth function thỏa mãn yêu cầu của bạn:

f(x) = (x + sqrt(x^2 + 4))/2 

Đối với x = 0, bạn có thể thấy rằng f (x) = 1. Đối với x dương rất lớn, sqrt(x^2 + 4) khoảng x, do đó f (x) ≈ x. Cho x tiêu cực rất lớn, sqrt(x^2 + 4) khoảng -x, vì vậy f (x) ≈ 0.

Các phái sinh đầu tiên là

f'(x) = 1/2 + 1/2*x/sqrt(x^2 + 4) 

Đối với x> 0, x/sqrt(x^2 + 4) > 0, vì vậy f '(x)> 0 . đối với x < 0,

0 < x^2/(x^2 + 4) < 1 
0 < |x|/sqrt(x^2 + 4) < 1 
-1 < x/sqrt(x^2 + 4) < 0 
-1/2 < 1/2*x/sqrt(x^2 + 4) < 0 
1/2 + 1/2*x/sqrt(x^2 + 4) > 0 

Do đó, f '(x)> 0 với mọi x, do đó f (x) là đơn điệu tăng như mong muốn.