Thứ tự Pecking của chim bồ câu?

Question

Tôi đã mặc dù problems trên lý thuyết đồ thị được đăng bởi Prof. Ericksson từ số alma-mater của tôi và đi qua câu hỏi khá độc đáo này về chim bồ câu và xu hướng bẩm sinh của chúng để tạo thành các đơn đặt hàng. Câu hỏi đặt ra như sau:

Bất cứ khi nào các nhóm chim bồ câu tập hợp, , chúng theo bản năng thiết lập một yêu cầu bồi thường . Đối với bất kỳ cặp chim bồ câu nào, một số chim bồ câu luôn đánh nhau, lái xe nó cách xa thức ăn hoặc bạn tình tiềm năng. Cùng một cặp chim bồ câu luôn luôn chọn cùng một trật tự mổ, thậm chí sau nhiều năm tách biệt, không có vấn đề những gì chim bồ câu khác xung quanh. Đáng ngạc nhiên, nhìn chung trật tự mổ thể chứa chu kỳ-ví dụ, pigeon Một phát mổ pigeon B, mà nhiều phát mổ pigeon C, mà nhiều phát mổ pigeon A.

Chứng minh rằng bất kỳ tập hữu hạn các chim bồ câu có thể được sắp xếp theo một hàng từ trái sang phải để mỗi chim bồ câu mổ một con chim bồ câu ngay lập tức bên phải của nó.

Vì đây là một câu hỏi về lý thuyết đồ thị, những điều đầu tiên vượt qua tâm trí của tôi là điều này chỉ yêu cầu một loại topo của các đồ thị quan hệ (mối quan hệ là thứ tự mổ). Điều làm cho điều này phức tạp hơn một chút là thực tế rằng có thể có mối quan hệ tuần hoàn giữa các chim bồ câu. Nếu chúng ta có một sự phụ thuộc theo chu kỳ như sau:

A-> B-> C-> Một

trong đó A phát mổ vào B, B phát mổ trên C và C quay ngược lại và phát mổ trên A

Nếu chúng tôi đại diện nó theo cách được đề xuất bởi vấn đề này, chúng tôi có một cái gì đó như sau: CBA

Nhưng trật tự hàng đưa ra ở trên không yếu tố theo thứ tự mổ giữa C và A.

tôi đã có một ý tưởng về giải quyết nó bằng cách cảm ứng toán học whe trường hợp cơ bản là cho hai con chim bồ câu được sắp xếp theo thứ tự của chúng, giả sử sự sắp xếp để mổ có giá trị đối với n chim bồ câu và sau đó chứng minh nó đúng với n + 1 chim bồ câu.

Tôi không chắc liệu tôi có đi sai đường ở đây hay không. Một số thông tin chi tiết về cách tôi nên phân tích vấn đề này sẽ hữu ích.

Cảm ơn

Answer 1

tôi sẽ chứng minh rằng việc sử dụng cảm ứng thực sự (a> b có nghĩa là một b peacks):

1. cho k = 2 nó rõ ràng giữ
2. let cho k = n có luôn cần thiết thứ tự, cho phép chứng minh rằng nó tồn tại cho n + 1. Chọn và đặt hàng bất kỳ chim bồ câu nào (A1> A2 ...> An) từ n + 1 đã cho. Và hãy để C là một chú chim bồ câu (n + 1).
   Nếu C pecks A1 thì nó có thể được thêm vào đầu dòng "" và câu lệnh được chứng minh. Nếu A1 pecks C sau đó cho phép so sánh C với A2 - nếu C pecks A2 thì nó có thể được chèn vào giữa A1 và A2 và giữ lệnh. Nếu không - lặp lại quy trình so sánh đó cho đến cặp cuối cùng - A (n-1) và An, khi tiến trình chúng ta giả định rằng A (n-1)> C. Nếu C> An thì C có thể được chèn vào giữa A (n-1).) và An, nếu không - nó có thể được chèn vào cuối của "dòng".

QED

T.B. Lưu ý rằng "chu kỳ mổ" không nhất thiết tồn tại - nếu chúng ta gán số chim bồ câu từ 1 đến n và giả định rằng chim bồ câu mổ số khác nếu số của nó lớn hơn thì chúng ta có thể sắp xếp chúng theo hàng thẳng chứ không phải trong vòng tròn. hàng xóm bên trái.

P.P.S. Bằng chứng đó cũng đưa ra một thuật toán để xây dựng thứ tự theo yêu cầu.

Answer 2

Bạn đã xem xét việc xây dựng đồ thị có hướng trực tiếp rồi tìm kiếm Đường dẫn Hamilton đến từng điểm (chim bồ câu) một lần chưa? Con đường Hamilton sẽ tiết lộ trình tự - đây không phải là một bằng chứng. Chỉ là một giải pháp.