Có phải hủy bỏ thảm họa một vấn đề khi tính toán các sản phẩm chấm của vectơ dấu chấm động? Và nếu như vậy, nó thường được giải quyết như thế nào?

Question

Tôi đang viết một trình mô phỏng vật lý trong C++ và lo ngại về sự mạnh mẽ. Tôi đã đọc rằng việc hủy bỏ thảm họa có thể xảy ra trong số học dấu chấm động khi sự khác biệt của hai số có độ lớn gần bằng nhau được tính toán. Nó xảy ra với tôi rằng điều này có thể xảy ra trong giả lập khi sản phẩm dấu chấm của hai vectơ gần như trực giao được tính toán. Tuy nhiên, các tài liệu tham khảo tôi đã xem xét chỉ thảo luận giải quyết vấn đề bằng cách viết lại phương trình có liên quan (ví dụ: công thức bậc hai có thể được viết lại để loại bỏ vấn đề) - nhưng điều này dường như không áp dụng khi tính toán một sản phẩm chấm? Tôi đoán tôi muốn được quan tâm để biết nếu điều này thường là một vấn đề trong động cơ vật lý và làm thế nào nó được giải quyết.

Answer 1

Một thủ thuật phổ biến là làm cho biến tích lũy là một loại có độ chính xác cao hơn chính vectơ.

Hoặc, người ta có thể sử dụng Kahan summation khi tổng hợp các điều khoản.

Cách tiếp cận khác là sử dụng blocked dot product algorithms thay vì thuật toán chuẩn.

Một khóa học có thể kết hợp cả hai phương pháp trên.

Lưu ý rằng ở trên là hành vi lỗi chung chung cho các sản phẩm chấm, chứ không phải hủy cụ thể thảm khốc.

Answer 2

Bạn nói trong nhận xét rằng bạn phải tính x1 * x2 + y1 * y2, trong đó tất cả các biến đều nổi. Vì vậy, nếu bạn tính toán ở độ chính xác gấp đôi, bạn sẽ không mất độ chính xác nào cả, bởi vì độ chính xác gấp đôi có độ chính xác gấp hai lần số float (giả sử mục tiêu của bạn sử dụng IEEE-754).

Cụ thể: hãy để xx, yy là số thực được đại diện bởi float biến số x, y. Để xxyy là sản phẩm của chúng và để xy là kết quả của phép nhân đôi chính xác x * y. Sau đó, trong mọi trường hợp, xxyy là số thực được đại diện bởi xy.