Vấn đề với giá trị điện toán tính toán bằng cách sử dụng toán học

Question

Về cơ bản, tôi đang cố gắng tìm giá trị riêng cho ma trận và mất khoảng 12 giờ. Khi nó kết thúc, nó nói rằng nó không thể tìm thấy tất cả các eigenvectors (thực sự hầu như không có), và tôi hoài nghi về những người nó đã tìm thấy. Tất cả những gì tôi thực sự có thể làm là đăng mã của tôi, và tôi hy vọng rằng ai đó có thể đưa ra một số gợi ý cho tôi. Tôi không có kinh nghiệm với toán học và có thể là thời gian chạy chậm và kết quả xấu có liên quan đến tôi chứ không phải khả năng toán học. Nhờ bất cứ ai trả lời, tôi thực sự đánh giá cao nó.

cutoff = 500; (* set a cutoff for the infinite series *) 
numStates = cutoff + 1; (* set the number of excited states to be printed *) 
If[numStates > 10, numStates = 10]; 

    $RecursionLimit = cutoff + 256; (* Increase the recursion limit to allow for the specified cutoff *) 
(* set the mass of the constituent quarks *) 
m1 := mS; (* just supposed to be a constant *) 
m2 := 0; 

(* construct the hamiltonian *) 
h0[n_,m_] := 4 Min[n,m] * ((-1)^(n+m) * m1^2 + m2^2); 

v[0,m_] := 0; 
v[n_,0] := 0; 
v[n_,1] := (8/n) * ((1 + (-1)^(n + 1))/2); 
v[n_,m_] := v[n - 1, m - 1] * (m/(m - 1)) + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2); 

h[n_,m_] := h0[n,m] + v[n,m]; 

(* construct the matrix from the hamiltonian *) 
mat = Table[h[n,m], {n, 0, cutoff}, {m, 0, cutoff}] // FullSimplify; 

(* find the eigenvalues and eigenvectors, then reverse the order *) 
PrintTemporary["Finding the eigenvalues"]; 
{vals, vecs} = Eigensystem[N[mat]] // FullSimplify; 

$RecursionLimit = 256; (* Put the recursion limit back to the default *) 

Có thêm một chút mã của tôi, nhưng đây là điểm mà nó thực sự chậm lại. Một cái gì đó tôi chắc chắn nên đề cập đến, là nếu tôi đặt cả m1 và m2 là bằng không, tôi không thực sự có bất kỳ vấn đề gì, nhưng việc đặt m1 thành hằng số khiến mọi thứ trở nên địa ngục.

Answer 1

Vấn đề của bạn là hằng số mS vẫn là biểu tượng. Điều này có nghĩa là Mathematica đang cố gắng phân tích giải tích cho các giá trị riêng thay vì số lượng. Nếu vấn đề của bạn cho phép bạn chọn một giá trị số cho mS bạn nên làm như vậy.

Các khác, không liên quan, vấn đề bạn phải là bạn đang sử dụng một công thức đệ quy và bạn muốn sử dụng, ví dụ, memoization trong dòng sau

v[n_, m_] := v[n, m] = v[n - 1, m - 1]*(m/(m - 1)) 
        + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2); 

Các phụ v[n, m] = lưu trữ các giá trị cho một trao n và m, do đó bạn không phải recurse tất cả các cách để v[0,0] mỗi khi h[n, m] được gọi là trong Table[].

Với hai điều đó, việc chăm sóc bộ đôi lõi 2 cũ của tôi mất ít hơn một phút để thực hiện các giá trị riêng.

Answer 2

Đây là câu trả lời tiếp theo cho câu trả lời của Timo. Tôi muốn thể hiện một con số để tôi đặt nó như một câu trả lời thay vì một bình luận.

Giả sử bạn muốn tìm giá trị riêng của ma trận có các yếu tố biểu tượng 501 x 501. [BTW bạn gọi chúng là hằng số, nhưng đó là một sự nhầm lẫn. Hằng số chỉ được xác định, giá trị cố định với tên. Những gì bạn mô tả trong bình luận của bạn tại câu trả lời của Timo là một biến tượng trưng.]

Thật tốt để xem một ma trận biểu tượng đầy đủ làm gì cho tính toán Eigenvalue. Đây là ma trận 2 x 2:

Array[f, {2, 2}] // Eigenvalues 

(* ==> 
{1/2 (f[1, 1]+f[2, 2]-Sqrt[f[1, 1]^2+4f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2]), 
1/2(f[1, 1]+f[2, 2]+Sqrt[f[1, 1]^2+4 f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2])} 
*) 

Nó chiếm Array[f, {2, 2}] // Eigenvalues//ByteCount = 3384 byte. Điều này phát triển khá nhanh: một giải pháp 7x7 đã chiếm 70 MB (phải mất vài phút để tìm cái này). Trong thực tế, có một mối quan hệ tốt đẹp để được tìm thấy giữa kích thước ma trận và số byte:

Chức năng được trang bị là: đếm byte = E^(2,2403067075863197 + 2,2617380321848457 x kích thước ma trận).

Như bạn có thể thấy, giá trị Eigenvalue của biểu trưng 501 x 501 sẽ không được tìm thấy trước khi kết thúc vũ trụ.

[BTW hình thức sở hữu của ma trận là gì?]