Tạo điều khoản của một chuỗi lũy thừa m-trật tự trong biến n

Question

Hãy xem xét một tình huống mà bạn có dữ liệu trong một danh sách các hình thức

data = {{x1, x2, x3, ..., xn, y}, {...}, ..., {...}} 

Ví dụ,

data = {{0, 2, 3, 2}, {0, 0, 1, 4}, {7, 6, 8, 3}} 

Tôi muốn phù hợp với những dữ liệu vào một đa thức đa biến về trật tự, nói, 2. Vì vậy, các giá trị chức năng 3 biến là:

{2, 4, 3} 

tại các điểm tương ứng

{{0, 2, 3}, {0, 0, 1}, {7, 6, 8}} 

Tôi muốn nói một cái gì đó giống như

Fit[data, {1, x, y, z, x^2, y^2, z^2, x y , x z, y z}, {x, y, z}] 

Đây là tất cả đều rất tốt đẹp, nhưng tôi không thể chỉ có dữ liệu 3 variate, có thể có một số tùy biến, và tôi không biết cách lập trình tạo tất cả các thuật ngữ tuyến tính, bậc hai hoặc thậm chí cao hơn, để chèn chúng làm đối số thứ hai của Fit [].

Đối ngày 4 variate làm lệnh thứ hai, nó sẽ là một cái gì đó như:

{1, x1, x2, x3, x4, x1^2, x2^2, x3^2, x4^2, x1 x2, x1 x3, x1 x4, x2 x3, x2 x4, x3 x4} 

Có cách nào tôi có thể tạo ra như một danh sách cho n biến, để m trật tự -thứ? Giống như các cụm từ (không có hệ số) trong việc mở rộng chuỗi m cấp hàng loạt của hàm n-biến đổi.

Answer 1

Điều này có làm những gì bạn muốn không?

Union[Times @@@ Tuples[{1, x, y, z}, 2]] 

Answer 2

Sử dụng @ giải pháp gọn gàng ruebenko của,

varsList[y_, n_?IntegerQ, k_?IntegerQ] := 
Union[Times @@@ 
Tuples[Prepend[Table[Subscript[y, i], {i, 1, n}], 1], k]] 

Bạn có thể tạo danh sách mong muốn qua varsList[x, 4, 2].

Answer 3

Dưới đây là một phương pháp mà tôi tin là có giá trị biết:

set = {1, x, y, z}; 

Union @@ Outer[Times, set, set] 

Answer 4

Trong khi các giải pháp của @ruebenko là hoàn toàn đúng, tôi muốn đề cập đến rằng nó sẽ khá chậm đối với quyền hạn cao hơn/số lượng lớn của các biến, vì sự phức tạp của Tuples và nhiều bản sao cho các quyền hạn cao hơn. Dưới đây là một phương pháp đại số với một hiệu suất tốt hơn đối với những trường hợp (cả thời gian chạy và bộ nhớ-khôn ngoan):

List @@ Expand[(1 + x + y + z + t)^2] /. a_Integer*b_ :> b 

đây là một so sánh cho số lượng lớn các biến:

In[257]:= (res1=Union[Times@@@Tuples[{1,x,y,z,t},9]])//Short//Timing 
Out[257]= {19.345,{1,t,t^2,t^3,t^4,t^5,t^6,t^7,t^8,t^9,x,<<694>>,x^2 z^7,y z^7, 
     t y z^7,x y z^7,y^2 z^7,z^8,t z^8,x z^8,y z^8,z^9}} 

In[259]:= (res2=List@@Expand[(1+x+y+z+t)^9]/. a_Integer*b_:>b)//Short//Timing 
Out[259]= {0.016,{1,t,t^2,t^3,t^4,t^5,t^6,t^7,t^8,t^9,x,<<694>>,x^2 z^7,y z^7, 
     t y z^7,x y z^7,y^2 z^7,z^8,t z^8,x z^8,y z^8,z^9}} 

In[260]:= res1===res2 
Out[260]= True 

Trong này trường hợp, chúng tôi quan sát một tốc độ 1000x, nhưng nói chung hai phương pháp chỉ có những phức tạp tính toán khác nhau. Đoạn mã trên là một ứng dụng của một phương pháp chung và đẹp, được gọi là Lập trình đại số. Đối với một cuộc thảo luận thú vị về nó trong bối cảnh của Mathematica, xem điều này Mathematica Journal paper bởi Andrzej Kozlowski.