`Tham gia` và` fmap tham gia` bằng Haskell (từ điểm lý thuyết Danh mục)?

Question

Câu hỏi của tôi nảy sinh từ luật đầu tiên của các monads trong Haskell: join . fmap join = join . join.

Trong Haskell/Category_theory luật này được thể hiện bằng hình ảnh sau đây:

Tôi bối rối bởi thực tế rằng ví dụ này sử dụng trường hợp của các loại, không phải là loại. Bởi vì các đối tượng trong thể loại Hask là các loại, không phải là các đối tượng của chúng.

Vì vậy, tôi đã cố gắng để vẽ lại ví dụ này với các loại, và đây là những gì tôi nhận được:

Trong bức tranh này cả hai mũi tên (join và fmap join) dẫn đến M(M(X)). Đây có phải là cùng một đối tượng, hoặc có hai khác nhau M(M(X))?

Answer 1

Tôi bị nhầm lẫn bởi thực tế là ví dụ này sử dụng các loại trường hợp, không phải loại. Bởi vì các đối tượng trong thể loại Hask là các kiểu, không phải là các cá thể của chúng.

Ví dụ sử dụng một thể hiện của một lớp , mà là chính nó một loại .

---

Trong Haskell, vâng, đây là cùng một đối tượng (loại). Các trường hợp của typeclass Monad phải là các nhà xây dựng kiểu và các nhà xây dựng kiểu được tiêm. Sau đó, phải rõ ràng là

X = X => M(X) = M(X) => M(M(X)) = M(M(X)) 

Bắt tại đây chỉ có nghĩa là chúng cùng loại, không có giá trị. Chỉ vì fmap join và join cả hai đều có thể có các loại riêng của chúng là Monad m => m (m (m a)) -> m (m a) không có nghĩa là chúng thực hiện tương tự.

Chúng không.

ghci> (fmap join) [[[1],[2],[3]]] 
[[1,2,3]]   
ghci> join [[[1],[2],[3]]] 
[[1],[2],[3]] 

Không phải tất cả các bản vẽ của danh mục đều phải là biểu đồ đi lại. :)

Answer 2

Từ hình ảnh, bạn có thể thấy rằng fmap join và join sản xuất giá trị khác nhau của cùng một loại . Do đó, chúng không giống nhau, mặc dù thành phần với join cuối cùng tạo ra các giá trị giống hệt nhau.

Trong lý thuyết danh mục, epimorphism là hình thái g sao cho f1 . g == f2 . g ngụ ý rằng f1 == f2 là tốt. Trong trường hợp này, chúng ta có thể thấy rằng join là không phải một biến hình, bởi vì mặc dù fmap join . join == join. join, nhưng không đúng là fmap join == join.