Về một bài tập xuất hiện trong khối lượng TAOCP của một người "Ghi chép về bài tập"

Question

Có một câu hỏi trong TAOCP vol 1, trong "Ghi chú về bài tập" phần, mà đi một cái gì đó như:

"Chứng minh rằng 13^3 = 2197. Tổng quát câu trả lời của bạn (Đây là một vấn đề khủng khiếp mà tác giả đã cố gắng tránh). "

Câu hỏi:

1. Làm thế nào bạn sẽ thực sự đi về minh này? (Phép nhân trực tiếp là một cách, một cách khác có thể sử dụng công thức (a + b)^3). Liệu các giải pháp đòi hỏi phải sử dụng một số phương pháp mà sẽ cho phép chúng tôi để làm cho một số loại tổng quát?

2. Khái quát hóa ở đây là gì?

3. Tại sao đây là một vấn đề khủng khiếp?

4. Một số loại vấn đề khủng khiếp tương tự khác mà bạn biết là gì?

Đánh giá cao bất kỳ câu trả lời nào.

P.S. Tôi xin lỗi nếu tuyên bố của vấn đề ở trên làm cho nó trông giống như một vấn đề bài tập về nhà, nhưng nó không. Yêu cầu mọi người không gắn thẻ điều này như là một bài tập về nhà, để nhiều người hơn có thể trả lời.

Answer 1

Tôi đoán rằng anh ấy ám chỉ có lẽ chứng minh nó bắt đầu từ chỉ Peano axioms. Sau đó, constructing các số nguyên, và tiếp tục chính thức cho thấy rằng 13^3 = 2197 là một kết luận tự nhiên, hợp lý chảy từ định nghĩa lũy thừa.

Chúng ta có thể khái quát hóa để chỉ ra rằng với a và b, tồn tại một số nguyên c, đó là^b.

Đây là một loại vấn đề khủng khiếp vì hầu hết mọi người thấy nó không thú vị.

Các loại vấn đề tương tự có thể được tìm thấy trong khóa học về phân tích (cùng với một số điều thú vị hơn).

Answer 2

tôi ban đầu coi nó như sau:
n = n * n * n
log _n (n) = log _n (n * n * n)
log _n (n) = log _n (n) + log _n (n) + log _n (n)
012.3 = 1 + 1 + 1
3 = 3

Điều này dường như khá tròn trong việc sử dụng nhận dạng logarit, nhưng được đưa ra trong nghiên cứu thuật toán của tôi, nó rất thoải mái.

Answer 3

Chấn mắc kẹt tại cuộc tập trận tương tự và 'giải quyết' nó theo cách này: a^b = mult (i = 1 đến b) một

Sau một chút suy nghĩ tôi đi đến kết luận rằng đây là một yếu tố chính (cả 13 và 3 là số nguyên tố). Tra cứu định lý nhỏ của fermat.

(Tôi biết, nó là một chủ đề cũ nhưng có lẽ điều này sẽ giúp một ai đó cũng đang tìm kiếm một câu trả lời cho execise này.)